Производством называется любая человеческая деятельность по преобразованию ограниченных ресурсов – материальных, трудовых, природных - в готовую продукцию. Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.
Производственная функция обладает следующими свойствами:
1 Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.
2 Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.
Производство не может создавать продукцию из ничего. Процесс производства связан с потреблением различных ресурсов. В число ресурсов входит все то, что необходимо для производственной деятельности, – и сырье, и энергия, и труд, и оборудование, и пространство.
Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т. д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции .
Но предприятие может по-разному осуществить производственный процесс, используя разные технологические способы, разные варианты организации производства, так что и количество продукта, получаемое при одних и тех же затратах ресурсов, может быть разным. Руководители фирмы должны отклонить варианты производства, дающие меньший выход продукта, если при тех же самых затратах каждого вида ресурса можно получить больший выход. Точно так же они должны отклонить варианты, требующие больших затрат хотя бы одного ресурса без увеличения выхода продукта и сокращения затрат других ресурсов. Варианты, отклоняемые по этим соображениям, носят название технически неэффективных .
Допустим, ваша фирма производит холодильники. Для изготовления корпуса нужно раскроить листовое железо. В зависимости от того, как будет размечен и раскроен стандартный лист железа, из него можно вырезать больше или меньше деталей; соответственно для изготовления определенного количества холодильников потребуется меньше или больше стандартных листов железа. При этом расход всех остальных материалов, труда, оборудования, электроэнергии останется без изменения. Такой вариант производства, который может быть улучшен путем более рационального раскроя железа, должен быть признан технически неэффективным и отклонен.
Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением затрат какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения затрат других ресурсов. Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение – это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.
Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса. Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Даже если рассмотреть предприятие, оказывающее услуги на дому у клиентов без применения какого-либо оборудования и материалов (массаж, репетиторство) и затрачивающее только труд работников, нам пришлось бы допустить, что работники обходят клиентов пешком (не используя услуг транспорта) и договариваются с клиентами без помощи почты и телефона.
Производственная функция – показывает зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат используемых факторов
Q = f (x1, x2…xn)
Q = f (K, L),
где Q - объем выпуска
x1, x2…xn – объемы применяемых факторов
K - объем капитального фактора
L - объем трудового фактора
Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х , может произвести продукт в количестве q . Производственная функция
Под производством в современной микроэкономике понимается деятельность по использованию факторов производства с целью создания продукта или услуги и достижения наилучшего результата. В процессе производства используются факторы производства: труд, капитал, земля и др. Можно выделить составные части каждого фактора и рассматривать их как самостоятельные факторы. Например, в факторе «труд» могут быть выделены труд менеджеров, инженеров, рабочих и т.д.
В экономической теории выделяют первичные факторы производства, которые в соответствии с теорией факторов производства (ее связывают с именем французского экономиста Жана Б. Сэя) создают новую стоимость. К ним относятся труд, капитал, земля и предпринимательские способности. Вторичные факторы не создают новую стоимость. В современном производстве возрастает роль энергии и информации, им присущи признаки первичных и вторичных факторов.
Производственная функция выражает технологическую взаимосвязь между конечным выпуском и затратами факторов производства и. В неявном виде она записывается следующим образом:
где - форма функции; - максимальный выпуск, который можно получить при используемой технологии и имеющемся количестве факторов производства (и).
В моделях процесса производства, в производственных функциях, учитываются два основных фактора: труд и капитал. Это позволяет проанализировать важнейшие связи и зависимости в процессе производства без упрощения их реального содержания. В производственной функции выпуск, затраты труда и капитала измеряются в натуральных единицах (выпуск в метрах, тоннах и т.п., затраты труда в человеко-часах, капитала - в машино-часах и т.п.).
Примером производственной функции, в явном виде представляющей зависимость между выпуском и затратами факторов производства, является функция Кобба-Дугласа:
где - эффективность технологии;
Частная эластичность выпуска по труду;
Частная эластичность выпуска по капиталу.
Функция была выведена математиком Ч. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 г. на основе статистических данных обрабатывающей промышленности США. Эта сегодня широко известная функция обладает рядом замечательных свойств. Ниже проанализируем экономический смысл ее параметров. Функция Кобба-Дугласа описывает экстенсивный тип производства.
Если используются факторов производства, то производственная функция имеет вид:
где - количество используемого -го фактора производства.
Свойства производственной функции состоят в следующем.
1. Производственные факторы являются взаимодополняющими. Это значит, если затраты хотя бы одного фактора равны нулю, то и выпуск равен нулю:. Исключение составляет функция
В соответствии с такой функцией можно использовать только труд или только капитал, и выпуск не будет равен нулю.
- 2. Свойство аддитивности означает, что можно объединить факторы производства и. Но объединение целесообразно лишь в том случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до объединения факторов производства.
- 3. Свойство делимости означает, что процесс производства может осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее условие
При этом, если, то имеем неизменную отдачу от масштаба; если - возрастающую отдачу от масштаба; если, то имеет место убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки фирмы не изменяются, при возрастающей - снижаются, при убывающей - возрастают.
Изокванта (или кривая постоянного продукта - (isoquant) представляет собой график производственной функции. Точки на изокванте отражают множество комбинаций факторов производства, использование которых обеспечивает одинаковый выпуск продукции.
Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат. Изокванта (рис.), лежащая выше и правее другой изокванты, представляет больший объем выпускаемой продукции (изделий,). Однако, в отличие от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно измерить нельзя, изокванты показывают реальный объем производства. Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant map).
Реальная изокванта с выпуском представлена на рис 1.1а в трехмерном пространстве. Ее проекция отмечена пунктирной линией и перенесена на рис. 1.1б . Если используются отмеченные сочетания факторов производства, но применяется более прогрессивная технология, то выпуск будет равен. Но проекция у изокванты с таким выпуском будет той же, что и у изокванты с меньшим выпуском. Экономисты располагают на плоскости изокванту с большим выпуском (рис. 1.1б ) выше и правее изокванты с меньшим выпуском.
На рис. а взаимосвязь между выпуском и затратами нарушается: выпуск получен с большими затратами труда и капитала, чем. Ниже будет показано, как на расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее параметры.
Эффективность технологии (параметр в функции Кобба-Дугласа) можно представить графически следующим образом (рис.). В точках и выпуск один и тот же. На рис. б изокванта представляет более эффективную технологию, так как затраты на единицу продукции здесь ниже, чем на изокванте на рис. а .
Ранее было показано, что представление производственной системы в виде «черного ящика» предполагает установление связи между факторами производства и продуктом с помощью функциональной зависимости, называемой производственной функцией (ПФ) . Существует строгое математическое определение ПФ: ПФ – это уравнение гиперповерхности эффективных технологических процессов, а именно - это непрерывная дифференцируемая функция v=f(u) , описывающая множество эффективных технологических процессов. Другими словами эта функция однозначно определяет наибольший набор продуктов v , который может быть произведен для определенного набора факторов u .
Агрегирование наборов факторов и продуктов производства позволяет привести уравнение гиперповерхности к виду:
То есть связь (эффективное преобразование) между агрегированными факторами производства и единственным продуктом.
Отметим, что под агрегированием понимают операции укрупнения (суммирования) объемов факторов и продуктов, если они являются однородными товарами, либо стоимостное соизмерение разнородных товаров (индексы в статистике !). Также ПФ могут определены для систем различных масштабов – от производственных участков до мировой экономики. Вопросы получения различных видов математических зависимостей в ПФ основаны на эконометрике и регрессионном анализе. Фактически речь идет о построении простых или множественных уравнений регрессии.
Так, распространенной в анализе производственных процессов является производственная функция, связывающая объем выпуска единственного продукта (Y ) с агрегированными факторами труда (L ) и капитала (К ) за определенный период времени: Y = f(L,K) .
Отметим, что с точки зрения управленческого учета затраты труда представляют переменные издержки, а затраты капитала – постоянные издержки производства. Поэтому в краткосрочном периоде система производства может изменять только затраты труда, но не может изменить затраты капитала. Следовательно, изменение обоих факторов возможно только в долгосрочном периоде.
Рассмотрим общие свойства ПФ:
1. при x i =0 для любых
Это свойство означает (аналогично первому свойству технологических множеств), что при отсутствии затрат одного из факторов производства производится нулевой продукт, то есть не существует факторов – абсолютных субститутов . То есть возможно лишь частичное замещение одного фактора другим, а не полное. Для двухфакторной ПФ соответственно это свойство будет означать: f(L,0)=0 и f(0,K)=0 .
2. для всех
Фактически это свойство означает, что производительность любой системы ограничена сверху, то есть при увеличении затрат факторов количество производимого продукта будет расти, а после достижения некоторого критического значения будет падать. Критические значения и задают границу экономической области, выход из которой приводит к снижению производительности системы при дальнейшем росте факторов производства. Следовательно, на границе экономической области существуют такие точки, в которых .(??), а количество производимого продукта при увеличении факторов производства будет расти внутри экономической области.
3. для всех
Это свойство означает вогнутость ПФ, а с экономической точки зрения оно выражает закон убывания предельной эффективности производства продукта при увеличении затрат факторов (см. закон убывания предельной полезности в модели потребителя ).
4. - это свойство характеризует линейную однородность ПФ, то есть при одновременном изменении количества затрат факторов в l раз, количество произведенного продукта изменится также в l раз.
Свойство линейной однородности позволяет также преобразовать ПФ в функцию одной переменной. Например, двухфакторную ПФ можно привести к однофакторной:
Или: или , где y – средняя производительность труда, к – фондовооруженность.
ПФ, которые обладают всеми приведенными выше свойствами, называют неоклассическими .
Рассмотрим подробнее свойства неоклассических ПФ.
Ранее было сформулировано положение о том, что ПФ строится на множестве эффективных технологических процессов. Математически эффективность производственного процесса определяется величиной среднего и предельного продуктов, произведенных при определенных затратах факторов производства.
Средний продуктi -го фактора производства – это есть отношение количества произведенного продукта к количеству затрачиваемого фактора x i за период времени: . Для двухфакторной ПФ можно получить соотношения: и , что соответствует средней фондоотдаче (среднему количеству произведенного продукта единицей капитала) и средней производительности труда (среднему количеству произведенного продукта единицей труда). (Можно провести аналогию с моделированием потребителя ). Понятие среднего продукта является подтверждением вогнутости ПФ: чем больше затраты по фактору, тем меньше средний продукт.
Предельный продукт фактора x i – это дополнительный продукт, произведенный системой при затратах дополнительной единицы фактора x i . Опять-таки, можно провести аналогию между понятиями предельный продукт и предельная полезность , качественная однородность этих понятий приводит к понятию первой частной производной продукта y по затратам фактора x i как количественной мере оценки этой предельной величины:
А для двухфакторной ПФ: и , что соответствует предельной фондоотдаче и предельной производительности труда (marginal product of capital , marginal product of labor ). Опять-таки, предельные продукты факторов всегда меньше средних продуктов, что является следствием вогнутости ПФ.
Отношение предельного продукта к среднему дает коэффициент эластичности продукта по i -му фактору производства (аналогично коэффициенту эластичности функции спроса по доходу ):
Для двухфакторной ПФ имеем:
Коэффициент эластичности продукта по i- му фактору показывает, на сколько процентов изменится количество произведенного продукта при увеличении затрат i -го фактора на один процент. Используя коэффициенты эластичности можно выразить предельный продукт через средний:
Введение коэффициентов эластичности позволяет вычислить изменение выпуска продукта при одновременном изменении объемов затрачиваемых факторов:
Последнее свойство ПФ об однородности приводит также к понятию степени однородности ПФ, а именно:
Где δ – степень однородности ПФ. Неоклассическая ПФ является однородной ПФ со степенью однородности, равной единице. Такие функции называют также линейно-однородными.
В общем случае, для любой однородной дифференцируемой функции со степенью однородности δ справедлива теорема Эйлера:
. Эта теорема имеет важное экономическое значение, а именно, произведенный продукт может быть представлен как сумма вкладов каждого фактора в произведенный продукт.
Для двухфакторной ПФ, являющейся линейно-однородной (δ=1) теорема Эйлера приводит к:
.
Если бы двухфакторная ПФ не являлась бы линейно-однородной, то тогда справедливо соотношение:
, отсюда следует, что:
И в заключение обсуждения свойств ПФ рассмотрим, как влияет изменение масштаба производства на его эффективность.
Для этого вводятся понятия среднего и предельного продукта масштаба производства.
Средний продукт масштаба – это есть отношение продукта, полученного при увеличении факторов в l раз, к коэффициенту масштабирования l:
Предельный продукт масштаба производства приблизительно равен частной производной продукта, полученного при увеличении факторов в l раз по коэффициенту масштабирования:
Так как коэффициент эластичности – это отношение предельного продукта к среднему, то коэффициент эластичности масштаба производства будет равен:
То есть коэффициент эластичности масштаба производства всегда будет равен степени однородности ПФ.
И еще одно важное свойство E l : для любой однородной ПФ сумма коэффициентов эластичности продукта по факторам равна коэффициенту эластичности масштаба производства:
Анализ коэффициента эластичности масштаба производства позволяет выявить, что если E l >1, то укрупнение производства дает положительный эффект, так как такие производственные системы имею более высокую эффективность при увеличении масштабов производства. Если E l <1, то увеличение масштаба производства приведет к снижению его эффективности, но уменьшение масштаба в этом случае даст повышение производительности системы. Для линейно-однородных ПФ изменение масштабов производства приводит всегда к пропорциональному изменению продукта, то есть производство инвариантно к изменению масштаба.
Изокванты и изоклины ПФ
Если вновь обратиться к методу аналогии, то, как и в случае модели поведения потребителя, в теории моделирования производственных процессов можно выделить понятие кривой безразличия производителя. Этому понятию может соответствовать множество наборов производственных факторов, которым соответствует одинаковое количество произведенного продукта, то есть:
Множество точек, удовлетворяющих равенству (4.1), называют изоквантой ПФ (iso – постоянный, quantity – количество). Каждая изокванта соответствует различному уровню производства продукта (y ), причем изокванты, более удаленные от нулевой точки (точки бездействия) соответствуют более высоким значениям y . Изокванты также обладают теми же свойствами, что и кривые безразличия (параллельны друг другу, не пересекаются с осями абсцисс и ординат и др.) Для двухфакторной ПФ изокванта по сути будет выражать функциональную зависимость затрат капитала от затрат труда при данном уровне произведенного продукта:
Производитель, варьируя технологии, может выбирать разные сочетания факторов производства и поддерживать при этом постоянный уровень производства. Согласно изокванте, увеличение одного фактора приведет к уменьшению другого. Следовательно, должна существовать характеристика, позволяющая оценить компенсацию одного фактора другим. Такой характеристикой является предельная норма замещения (аналогично такой же характеристике в теории полезности потребителя):
, (4.2)
которая показывает, какое увеличение фактора j скомпенсирует снижение фактора i на единицу, чтобы уровень производства продукта остался прежним (замещение фактора i фактором j ).
Соответственно обратное замещение (фактора j фактором i) будет характеризоваться обратной величиной: .
Согласно взаимосвязи коэффициента эластичности и предельного продукта (4.1) предельную норму замещения можно выразить как:
(4.3)
Согласно (4.1) для двухфакторной ПФ имеем:
- предельная норма замещения капитала трудом;
- предельная норма замещения труда капиталом.
Согласно (4.3) для двухфакторной модели также предельную норму замещения можно выразить через коэффициенты эластичности:
, где к – фондовооруженность.
Наряду с изоквантами важную роль в ПФ играют изоклины – множества точек экономической области, у которых предельная норма замещения i -го фактора j -м постоянна:
Используя понятие изоклины (изоклинали) можно преобразовать произвольный набор факторов (L,K) в набор (Y,MRS) , то есть решением системы уравнений:
будет являться:
Однородная ПФ с постоянной предельной нормой замещения труда капиталом и степенью однородности δ=1 относится к классу линейных функций, то есть .
Таким образом, для двухфакторной ПФ каждая точка изокванты характеризуется затратами капитала и труда или предельной нормой замещения труда капиталом MRS LK и фондовооруженностью k . Если обратиться к геометрическому представлению, то MRS LK равна угловому коэффициенту касательной к данной точке изокванты, а величина k – угловому коэффициенту луча, выходящего из начала координат и проходящего через заданную точку изокванты (см. Рис. 4.2 ).
Рис 4.2
Например, в точке В значение затрат труда больше, чем в точке А , следовательно, значение MRS LK в точке В меньше, чем в точке А . Соответственно точка В будет соответствовать меньшему значению фондовооруженности, чем в точке А .
Таким образом, очевидной становится связь между изменением фондовооруженности и предельной нормой замещения труда капитала, то есть мы опять приходим к понятию эластичности, а именно эластичности замещения труда капиталом, которая показывает, насколько процентов изменится фондовооруженность труда при изменении предельной нормы замещения труда капиталом на один процент:
(4.4)
Графически можно также показать, что с ростом кривизны изокванты эластичность E σ уменьшается (см. Рис. 4.3 ).
Рис 4.3
Отметим, что в обоих случаях в точках А и В значения MRS LK остаются одинаковыми, а значение фондовооруженности в точке А выше, чем в точке В . Отсюда вытекает еще одно важное свойство: для однородной ПФ эластичность замещения труда капиталом зависит лишь от фондовооруженности и остается постоянной вдоль лучей, выходящих из нулевой точки.
Выразим связь между MRS LK и k при постоянной эластичности E σ . Согласно (4.4) имеем:
(4.5)
Предполагая зависимость MRS LK (k) , можно записать (4.5) в виде обычного дифференциального уравнения:
(4.6)
Интегрирование (4.6) дает:
или после преобразования:
, где
Следовательно, условие постоянства эластичности замещения труда капиталом дает степенную зависимость между величинами MRS LK и k . Соответственно, случай единичной эластичности будет соответствовать линейной связи между указанными величинами:
Введение понятия постоянной эластичности замещения привело к общей форме однородной ПФ, для которой эластичность замещения факторов постоянна. Такие ПФ называют ПФ класса CES (Constant Elasticity of Substitution ). Впервые функции этого класса были предложены Эрроу Кеннетом и Солоу Робертом в 1961 году. Функции этого класса предполагают, что замещение труда капиталом возможно только в некоторых пределах и не существует технологий, которые позволяли бы произвести заданное количество продукта при затратах факторов производства ниже определенных критических значений. (Геометрически это означает, что можно построить асимптоты к изокванте, и они будут соответствовать минимально возможным значениями труда и капитала. Возможен вывод математических соотношений асимптот, в данном изложении этот материал мы не будем приводить.)
Многие ПФ являются по сути частными или предельными случаями функций CES, основные характеристики которых приведены в Табл 4.1 .
В условиях современного общества ни один человек не может потреблять только то, что он сам производит. Каждый индивид выступает на рынке в двух ролях: как потребитель и как производитель. Без постоянного производства благ не было бы потребления. На известный вопрос «Что производить?» отвечают потребители на рынке, «голосуя» содержимым своего кошелька за те товары, которые им действительно нужны. На вопрос «Как произвести?» должны ответить те фирмы, которые производят товары на рынок.
В экономике присутствует два вида благ: потребительские блага и факторы производства (ресурсы) – это блага, необходимые для организации процесса производства
Hеоклассическая теория традиционно к факторам производства относила капитал, землю и рабочую силу.
В 70-е годы XIX столетия Альфредом Маршаллом был выделен четвертый фактор производства – организация. Далее, Йозефом Шумпетером этот фактор был назван предпринимательством.
Таким образом, производство представляет собой процесс соединения таких факторов как капитал, труд, земля и предпринимательство с целью получения новых благ и услуг, необходимых потребителям.
Для организации производственного процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве.
Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией:
где Q - максимальный объем продукта, который возможно произвести при заданной технологии и определенных факторах производства; K - затраты капитала; L - затраты труда; M - затраты сырья, материалов.
Для укрупненного анализа и прогнозирования используется производственная функция, называемая функцией Кобба-Дугласа:
Q = k · K · L · M ,
где Q - максимальный объем продукта при заданных факторах производства; K, L, M - соответственно затраты капитала, труда, материалов; k - коэффициент пропорциональности, или масштабности; , , , - показатели эластичности объема производства соответственно по капиталу, труду и материалам, или коэффициенты прироста Q, приходящиеся на 1% прироста соответствующего фактора:
+ + = 1
Несмотря на то, что для производства конкретного продукта требуется сочетание разных факторов, производственная функция обладает рядом общих свойств:
факторы производства являются взаимодополняющими. Это означает, что данный процесс производства возможен только при наборе определенных факторов. Отсутствие одного из перечисленных факторов сделает невозможным производство запланированного продукта.
существует определенная взаимозаменяемость факторов. В процессе производства один фактор может быть заменен в определенной пропорции другим. Взаимозаменяемость не означает возможности полного исключения из производственного процесса какого-либо фактора.
Принято рассматривать 2 разновидности производственной функции: с одним переменным фактором и с двумя переменными факторами.
а) производство с одним переменным фактором;
Допустим, что в самом общем виде производственная функция с одним переменным фактором имеет вид:
где y - const, x - величина переменного фактора.
Для того чтобы отразить влияние переменного фактора на производство, вводятся понятия совокупного (общего), среднего и предельного продукта.
Совокупный продукт (TP ) - это количество экономического блага, произведенное с использованием некоторого количества переменного фактора. Это общее количество произведенного продукта изменяется по мере увеличения использования переменного фактора.
Средний продукт (AP)(средняя производительность ресурса) - это отношение общего продукта к количеству использованного в производстве переменного фактора :
Предельный продукт (MP ) (предельная производительность ресурса) обычно определяется как прирост совокупного продукта, полученный в результате бесконечно малого приращения количества использованного переменного фактора:
На графике изображено соотношение MP, AP и TP.
Совокупный продукт (Q) сростом использования в производстве переменного фактора (х) будет увеличиваться, однако этот рост имеет определенные пределы в рамках заданной технологии. На первой стадии производства (ОА) увеличение затрат труда способствует все более полному использованию капитала: предельная и общая производительность труда растут. Это выражается в росте предельного и среднего продукта, при этом MP > АР. В точке А" предельный продукт достигает своего максимума. На второй стадии (AБ) величина предельного продукта уменьшается и в точке Б" становится равной среднему продукту (MP = АР). Если на первой стадии (0A) совокупный продукт возрастает медленнее, чем использованное количество переменного фактора, то на второй стадии (АБ) совокупный продукт растет быстрее, чем использованное количество переменного фактора (рис. 5-1а). На третьей стадии производства (БВ) MP < АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (после точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фактора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Он утверждает, что с ростом использования какого-либо производственного фактора (при неизменности остальных) рано или поздно достигается такая точка, в которой дополнительное применение переменного фактора ведет к снижению относительного и далее абсолютного объемов выпуска продукции.
б) производство с двумя переменными факторами.
Допустим, что в самом общем виде производственная функция с двумя переменными факторами имеет вид:
где x и y - величины переменного фактора.
Как правило, рассматривается 2 одновременно и взаимодополняемых и взаимозаменяемых фактора: труд и капитал.
Эту функцию можно представить графически с использованием изокванты :
Изокванта, или кривая равного продукта, отражает все возможные комбинации двух факторов, которые могут быть использованы для производства определенного объема продукта.
С увеличением объемов используемых переменных факторов, возникает возможность выпуска большего объема продукции. Изокванта, отражающая производство большего объема продукта, будет расположена правее и выше предыдущей изокванты.
Количество использованных факторов x и y может постоянно меняться, соответственно будет уменьшаться или увеличиваться максимальный выпуск продукта. Следовательно, может возникнуть множество изоквант, соответствующих разным объемам выпускаемой продукции, которые образуют карту изоквант .
Изокванты являются подобием кривых безразличия с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства. То есть изокванты обладают свойствами, близкими кривым безразличия.
Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора.
Так же как кривые безразличия, расположенные на разном расстоянии от начала координат, характеризуют разный уровень полезности для потребителя, так и изокванты дают информацию о разных уровнях выхода продукции.
Проблему заменяемости одного фактора другим можно решить, рассчитав предельную норму технологического замещения (MRTS xy или MRTS LK).
Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора x. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS x,y берется со знаком минус:
MRTS x,y
=
илиMRTS LK =
Если мы возьмем какую-либо точку на изокванте, например, точку A и проведем к ней касательную KM, то тангенс угла даст нам значение MRTS x,y:
Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора x на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS x,y будет велико.
По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора x на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y.
В реальных производственных процессах встречается два исключительных случая в конфигурации изоквант:
Это ситуация, когда два переменных фактора идеально взаимозаменяемы, При полной заменяемости факторов производства MRTS x,y = const. Подобную ситуацию можно представить при возможности полной автоматизации производства. Тогда в точке A весь процесс производства будет состоять из затрат капитала. В точке B все машины будут заменены рабочими руками, а в точках C и D капитал и труд будут дополнять друг друга.
В ситуации с жесткой дополняемостью факторов предельная норма технологического замещения будет равна 0 (MRTS x,y = 0). Если мы возьмем современный таксопарк с постоянным количеством машин (y 1), для работы на которых необходимо определенное количество водителей (x 1), то можно сказать, что количество обслуживаемых пассажиров в течение суток не увеличится, если мы увеличим численность водительского состава до x 2 , x 3 , ... x n . Объем производимого продукта увеличится с Q 1 до Q 2 только в том случае, если увеличится количество используемых машин в таксопарке и численность водителей.
Каждый производитель, приобретая факторы для организации производства, имеет определенные ограничения в средствах.
Предположим, что в качестве переменных факторов выступают труд (фактор x) и капитал (фактор y). Они имеют определенные цены, которые на период анализа остаются постоянными (P x , P y - const).
Производитель может приобретать необходимые факторы в определенном сочетании, которое не выходит за рамки его бюджетных возможностей. Тогда его затраты на приобретение фактора x составят P x · x, фактора y соответственно - P y · y. Общие затраты (C) составят:
C = P x
· X
+ P y
· Y
или
.
Для труда и капитала:
или
Графическое изображение функции затрат (С) называется изокостой (прямой равных издержек, т.е. это все комбинации ресурсов, использование которых ведет к одинаковым затратам, израсходованным на производство). Строится данная прямая по двум точкам аналогично бюджетной линии (в равновесии потребителя).
Наклон
данной прямой определяется:
С увеличением средств на приобретение переменных факторов, то есть с уменьшением бюджетных ограничений, линия изокосты будет сдвигаться вправо и вверх:
C 1 = P x · X 1 + P y · Y 1 .
Графически изокосты выглядят так же, как бюджетная линия потребителя. При неизменных ценах изокосты представляют собой прямые параллельные линии с отрицательным углом наклона. Чем больше бюджетные возможности производителя, тем дальше от начала координат отстоит изокоста.
График изокосты в случае уменьшения цены на фактор x переместится по оси абсцисс из точки x 1 в x 2 в соответствии с увеличением применения этого фактора в процессе производства (рис. а).
А в случае увеличения цены на фактор y производитель сможет меньшее количество этого фактора привлечь в производство. График изокосты по оси ординат переместится из точки y 1 в y 2 .
Имея возможности производства (изокванты) и бюджетные ограничения производителя (изокосты), можно определить равновесие. Для этого совместим карту изоквант с изокостой. Та изокванта, по отношению к которой изокоста займет положение касательной, определит наибольший объем производства, при заданных бюджетных возможностях. Точка касания изокванты изокостой будет точкой наиболее рационального поведения производителя.
При анализе изокванты мы выяснили, что ее наклон в какой-либо точке определяется углом наклона касательной, или нормой технологического замещения:
MRTS x,y
=
Изокоста в точке E совпадает с касательной. Наклон изокосты, как мы определили ранее, равен угловому коэффициенту . Исходя из этого, можно определитьточку равновесия потребителя как равенство соотношений между ценами на факторы производства и изменением этих факторов .
или
Приведя данное равенство к показателям предельного продукта переменного фактора производства, в данном случае это MP x и MP y , получим:
или
Это равновесие производителя или правило наименьших издержек .
Для труда и капитала равновесие производителя будет выглядеть следующим образом:
Предположим, что цены ресурсов остаются неизменными, тогда как бюджет производителя постоянно растет. Соединив точки пересечения изоквант с изокостами, мы получим линию OS - "путь развития" (аналогичную линии уровня жизни в теории поведения потребителя). Эта линия показывает темпы роста соотношения между факторами в процессе расширения производства. На рисунке, например, труд в ходе развития производства используется в большей мере, чем капитал. Форма кривой "путь развития" зависит, во-первых, от формы изоквант и, во-вторых, от цен на ресурсы (соотношение между которыми определяет наклон изокост). Линия "путь развития" может быть прямой или кривой, исходящей из начала координат.
Если расстояния между изоквантами уменьшаются, это свидетельствует о том, что существует возрастающая экономия от масштаба, т. е. увеличение выпуска достигается при относительной экономии ресурсов. И фирме необходимо наращивать объем производства, так как это приводит к относительной экономии имеющихся ресурсов.
Если расстояния между изоквантами увеличиваются, это свидетельствует об убывающей экономии от масштаба. Убывающая экономия от масштаба свидетельствует о том, что минимально эффективный размер предприятия уже достигнут и дальнейшее наращивание производства нецелесообразно.
В случае, когда увеличение производства требует пропорционального увеличения ресурсов, говорят о постоянной экономии от масштаба.
Таким образом, анализ выпуска с помощью изоквант позволяет определить техническую эффективность производства. Пересечение изоквант с изокостой позволяет определить не только технологическую, но и экономическую эффективность, т. е. выбрать технологию (трудо-или капиталосберегающую, энерго- или материалосберегающую и т. д.), позволяющую обеспечить максимальный выпуск продукции при тех денежных средствах, которыми располагает производитель для организации производства.
Характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов () и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.
Производственная функция обладает следующими свойствами:
1. Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.
2. Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.
3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды. Мгновенный период — период, когда все ресурсы являются фиксированными. Короткий период — период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным. Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными.
Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска (q) от количества используемых труда () и капитала (). Напомним, что под капиталом понимаются средства производства, т.е. количество машин и оборудования, используемое в производстве и измеряемое в машино-часах (тема 2, п. 2.2). В свою очередь количество труда измеряется в человеко-часах.
Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:
A, α, β — заданные параметры. Параметр А — это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величина А возрастает, т.е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β — это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.
Построение изокванты
Приведенная производственная функция говорит о том, что производитель может заменять труд капитаном и капитал трудом, оставляя выпуск неизменным. Например, в сельском хозяйстве развитых стран труд является высокомеханизированным, т.е. на одного работника приходится много машин (капитала). Напротив, в развивающихся странах тот же объем производства достигается за счет большого количества труда при незначительном капитале. Это позволяет построить изокванту (рис. 8.1).
Изокванта (линия равного продукта) отражает все комбинации двух факторов производства (труда и капитала), при которых выпуск остается неизменным. На рис. 8.1 рядом с изоквантой проставлен соответствующий ей выпуск. Так, выпуск , достижим при использовании труда и капитала или с использованием труда и капитана.
Рис. 8.1. Изокванта
Возможны и другие комбинации объемов труда и капитала, минимально необходимых для достижения данного выпуска.
Все комбинации ресурсов, соответствующих данной изокванте, отражают технически эффективные способы производства. Способ производства A является технически эффективным в сравнении со способом В , если он требует использования хотя бы одного ресурса в меньшем количестве, а всех остальных не в больших количествах в сравнении со способом В . Соответственно способ В является технически неэффективным в сравнении с А. Технически неэффективные способы производства не используются рациональными предпринимателями и не относятся к производственной функции.
Из вышесказанного вытекает, что изокванта не может иметь положительный наклон, как это показано на рис. 8.2.
Отрезок, выделенный пунктиром, отражает все технически неэффективные способы производства. В частности, в сравнении со способом А способ В для обеспечения одинакового выпуска () требует того же количества капитала, но большего количества труда. Очевидно, поэтому, что способ B не является рациональным и не может приниматься в расчет.
На основе изокванты можно определить предельную норму технической замены.
Предельная норма технической замены фактора Y фактором X (MRTS XY) — это количество фактора (например, капитала), от которого можно отказаться при увеличении фактора (например, труда) на 1 ед., чтобы выпуск не изменился (остаемся на прежней изокванте).
Рис. 8.2. Технически эффективное и неэффективное производство
Следовательно, предельная норма технической замены капитала трудом исчисляется по формуле
При бесконечно малых измененияхL и K она составляет
Таким образом, предельная норма технической замены есть производная функции изокванты в данной точке. Геометрически она представляет собой наклон изокванты (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Предельная норма технической замены
При движении сверху — вниз вдоль изокванты предельная норма технической замены все время убывает, о чем говорит уменьшающийся наклон изокванты.
Если же производитель увеличивает и труд, и капитал, то это позволяет ему достичь большего выпуска, т.е. перейти на более высокую изокванту (q 2). Изокванта, расположенная правее и выше предыдущей, соответствует большему объему выпуска. Совокупность изоквант образует карту изоквант (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Карта изоквант
Особые случаи изоквант
Напомним, что приведенные соответствуют производственной функции вида . Но бывают и другие производственные функции. Рассмотрим случай, когда имеет место совершенная замещаемость факторов производства. Допустим, например, что на складских работах можно использовать квалифицированных и неквалифицированных грузчиков, причем производительность квалифицированного грузчика в N раз выше, чем неквалифицированного. Это означает, что мы можем заменить любое количество квалифицированных грузчиков неквалифицированными в соотношении N к одному. И наоборот, можно заменить N неквалифицированных грузчиков одним квалифицированным.
Производственная функция при этом имеет вид: где — число квалифицированных рабочих, — число неквалифицированных рабочих, а и b — постоянные параметры, отражающие производительность соответственно одного квалифицированного и одного неквалифицированного рабочего. Соотношение коэффициентов а и b — предельная норма технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными. Она постоянна и равнаN : MRTS xy = a/b = N.
Пусть, например, квалифицированный грузчик в состоянии в единицу времени обработать 3 т груза (это будет коэффициент а в производственной функции), а неквалифицированный — только 1 т (коэффициент b). Значит, работодатель может отказаться от трех неквалифицированных грузчиков, дополнительно нанимая одного квалифицированного грузчика, чтобы выпуск (общий вес обработанного груза) при этом остался прежним.
Изокванта в данном случае является линейной (рис. 8.5).
Рис. 8.5. Изокванта при совершенной заменяемости факторов
Тангенс угла наклона изокванты равен предельной норме технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными.
Еще одна производственная функция — функция Леонтьева. Она предполагает жесткую дополняемость факторов производства. Это означает, что факторы могут использоваться только в строго определенной пропорции, нарушение которой технологически невозможно. Например, авиационный рейс может быть нормально осуществлен при наличии как минимум одного самолета и пяти членов экипажа. При этом нельзя увеличивать самолето-часы (капитал), одновременно сокращая человеко-часы (труд), и наоборот, и сохранять неизменным выпуск. Изокванты в данном случае имеют вид прямых углов, т.е. предельные нормы технической замены равны нулю (рис. 8.6). В то же время можно увеличивать выпуск (количество рейсов), увеличивая в одной и той же пропорции и труд, и капитал. Графически это означает переход на более высокую изокванту.
Рис. 8.6. Изокванты в случае жесткой дополняемости факторов производства
Аналитически такая производственная функция имеет вид: q = min {aK; bL} , где а иb — постоянные коэффициенты, отражающие производительность соответственно капитала и труда. Соотношение этих коэффициентов определяет пропорцию использования капитала и труда.
В нашем примере с авиарейсом производственная функция выглядит так: q = min{1K; 0,2L} . Дело в том, что производительность капитала здесь составляет один рейс на один самолет, а производительность труда — один рейс на пять человек или 0,2 рейса на одного человека. Если авиакомпания располагает самолетным парком в 10 машин и имеет 40 человек летного персонала, то ее максимальный выпуск составит:q = min{ 1 х 8; 0,2 х 40} = 8 рейсов. Два самолета при этом будут простаивать на земле из-за нехватки персонала.
Взглянем, наконец, на производственную функцию, предполагающую существование ограниченного числа производственных технологий для производства заданного количества продукции. Каждой из них соответствует определенное состояние труда и капитала. В результате мы имеем ряд опорных точек в пространстве «труд-капитал», соединив которые, получаем ломаную изокванту (рис. 8.7).
Рис. 8.7. Ломаные изокванты при наличии ограниченного числа производственных методов
На рисунке видно, что выпуск продукции в объемеq 1 можно получить при четырех комбинациях труда и капитала, соответствующих точкам А, B, С иD . Возможны также и промежуточные комбинации, достижимые в тех случаях, когда предприятие совместно использует две технологии для получения определенного совокупного выпуска. Как всегда, увеличив количества труда и капитала, мы переходим на более высокую изокванту.